OEF couple de variables aléatoires discrètes
--- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 15 exercices sur les vecteurs aléatoires prenant un nombre fini ou dénombrable de valeurs. La plupart des exercices portent sur les couples de variables aléatoires prenant un nombre fini de valeurs.



Lois marginales et lois conditionnelles

Le tableau ci-dessous décrit la loi d'un couple de variables aléatoires qui prend ses valeurs dans l'ensemble : la case de la -ième ligne et de la -ième colonne contient la probabilité que prenne la valeur .

Déterminer la loi de .

t
P( = )
1 - Déterminer la loi de .

Bonne réponse : la loi de est bien donnée par le tableau suivant :

t
P( = )

2 - Déterminer maintenant la loi .

t
P( = | = )

Lois marginales

Le tableau ci-dessous décrit la loi d'un couple de variables aléatoires qui prend ses valeurs dans l'ensemble : la case de la -ième ligne et de la -ième colonne contient la probabilité que prenne la valeur .

Déterminer la loi de .

t
P( = )

Evénement défini par deux v.a.

Le tableau ci-dessous décrit la loi d'un couple de variables aléatoires qui prend ses valeurs dans l'ensemble : la case de la -ième ligne et de la -ième colonne contient la probabilité que prenne la valeur .

Calculer la probabilité de l'événement { }.


Calcul d'une loi dépendant des deux v.a.

On considère un couple de variables aléatoires qui prend ses valeurs dans l'ensemble .

1- Déterminer les valeurs possibles pour la variable aléatoire , c'est-à-dire les valeurs qui peuvent être prises avec une probabilité strictement positive (on séparera les valeurs par des virgules).

Bonne réponse : les valeurs possibles pour sont bien .

2- Le tableau ci-dessous décrit la loi d'un tel couple de variables aléatoires : la case de la -ième ligne de et la -ième colonne contient la probabilité que prenne la valeur .

Déterminer la loi de la variable aléatoire .


Covariance entre deux v.a.

On considère un couple de variables aléatoires qui prend ses valeurs dans l'ensemble .

La case de la -ième ligne et de la -ième colonne du tableau suivant contient la probabilité que prenne la valeur .

Calculer .


Indépendance de deux v.a.

Le tableau ci-dessous décrit la loi d'un couple de variables aléatoires qui prend ses valeurs dans l'ensemble : la case de la -ième ligne et de la -ième colonne contient la probabilité que prenne la valeur .

Les variables et sont-elles indépendantes ?


Espérance conditionnelle

On considère un couple de variables aléatoires qui prend ses valeurs dans l'ensemble .

La case de la -ième ligne et de la -ième colonne du tableau suivant contient la probabilité que prenne la valeur sachant que l'événement { = } est réalisé :

Déterminer l'espérance conditionnelle de sachant que { = } pour

t
E( | = )
1- Déterminer l'espérance conditionnelle de sachant que { = } pour in { } :

t
E(| = )

Bonne réponse !

2- Le tableau ci-dessous décrit la loi de .

t
P( = )

Déterminer l'espérance de .


Propriétés de la loi d'un couple de v.a.

Soit et deux variables aléatoires définies sur un espace de probabilité ( , , ) à valeurs dans un ensemble qui est fini, égal à NN ou égal à ZZ.

L'affirmation suivante est-elle toujours vraie ?

Si , alors


Séquence aléatoire I

Une source émet une suite de chiffres choisis parmi les entiers de 0 à , indépendamment les uns des autres suivant la loi de probabilité suivante :

Quelle est la probabilité que, dans une telle suite, ?


Séquence aléatoire II

Une source émet une suite de chiffres choisis parmi les entiers de 0 à , indépendamment les uns des autres suivant la loi de probabilité suivante :

1- Quelle est la probabilité que, dans une telle suite, ?

Bonne réponse ! La probabilité que, dans une telle suite, est

2- On vous dit que dans la suite de chiffres émise par la source, . Quelle est la probabilité que, dans cette suite, ?


Sommation et couple de v.a. 1

Soit un couple de variables aléatoires à valeurs entières.

Compléter l'expression ci-dessous de la probabilité de l'événement { in }

= { in tels que leq leq et } :

= et )
= =

Sommation et couple de v.a. 2

On considère un couple de variables aléatoires à valeurs dans {1,..., } x {1,...,}.

Compléter la formule ci-dessous afin d'exprimer la probabilité de l'événement

{ },

en fonction uniquement des probabilités ( et ) pour in {1,..., } et in {1,...,} :

( ) = ( et )

NB : on écrira min(a,b) pour désigner le minimum entre deux réels a et b et max(a,b) pour désigner le maximum entre a et b. On n'utilisera pas de sommes de la forme avec .


Sommation et couple de v.a. 3

On considère un couple de variables aléatoires à valeurs dans les entiers positifs ou nuls. L'objectif est d'exprimer la probabilité de l'événement {} uniquement à l'aide des probabilités pour i in NN et j in NN.

1- Pour cela, vous avez besoin d'une :

1- Pour faire ce calcul, on a besoin d'une . on a besoin d'une . on peut exprimer la probabilité de cet événement soit à l'aide d'une , soit à l'aide d'une .

2- Complétez la formule ci-dessous :
( ) = i et ) et j)
=
( ) = P( = i et = j)
= =

NB : on écrira

Tirage de deux numéros I

choisit au hasard un numéro entier entre 1 et . choisit au hasard un numéro entier entre 1 et .

Notons la variable aléatoire désignant le numéro tiré par et la variable aléatoire désignant le numéro tiré par .

1- Compléter l'écriture suivante de l'événement A: , en utilisant les variables aléatoires et de la façon la plus simple possible :

A: { }

NB : on pourra utiliser les fonctions min, max et abs en mettant les arguments de ces fonctions entre parenthèses, séparés par une virgule s'il y en a deux. Par exemple, min(a,b) désigne le minimum entre les deux nombres a et b.

1- Compléter l'écriture suivante de l'événement A: , en utilisant les variables aléatoires et de la façon la plus simple possible.

Bonne réponse ! l'événement A: "" s'écrit A:{ }

2- Calculer maintenant la probabilité que


Tirage de deux numéros II

choisit au hasard un numéro entier entre 1 et . choisit au hasard un numéro entier entre 1 et .

1- Calculer la probabilité que .

Bonne réponse ! la probabilité que est

2- Sachant que , quelle est la probabilité ? The most recent version


Cette page n'est pas dans son apparence habituelle parce que WIMS n'a pas pu reconnaître votre navigateur de web.

Pour accéder aux services de WIMS, vous avez besoin d'un navigateur qui connait les formes. Afin de tester le navigateur que vous utilisez, veuillez taper le mot wims ici : puis appuyez sur ``Entrer''.

Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne sont pas des fichiers HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE. Il est inutiles pour vous de les ramassez par un programme robot.

Description: exercices sur les couples de variables aléatoires prenant un nombre fini ou dénombrable de valeurs. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games

Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, probability, mathématiques, math, aléa, variable aléatoire, loi, loi marginale, loi conditionnelle, espérance conditionnelle, covariance, corrélation, indépendance, probabilité, proba, probabilité conditionnelle, somme double, vecteur aléatoire, vecteurs aléatoires