Extremums en plusieurs variables

Extremums en plusieurs variables

I Problème d'extrema sans contraintes picto

II Problème d'extrema avec contraintes picto

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

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Vous vous promenez sur un chemin de montagne.

  • Vous êtes très sportif et vous désirez aller le plus haut possible dans la région dont vous avez la carte.
  • Vous êtes un peu moins sportif, vous vous contentez de suivre le chemin indiqué. A la fin de la journée, vous désirez savoir quel est le point le plus haut ou le plus bas où vous êtes passé.

L'altitude est une fonction f de deux variables, la position (x, y) sur la carte.

  • Dans le premier cas, vous cherchez à trouver le maximum de la fonction f.

  • Dans le deuxième cas, le chemin est représenté par une contrainte entre x et y donnée par une équation g(x,y) = 0. La question est donc de trouver les points M0 vérifiant g(M0) tels que f soit extrémale en M0 parmi les points vérifiant g(M) = 0.

Voici les deux problèmes que nous allons étudier dans ce qui suit. Cela n'est pas un cours complet, mais donne quelques idées reliées à des exercices à faire.

I Problème d'extrema sans contraintes

II Problème d'extrema avec contraintes

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

I Problème d'extrema sans contraintes

II Problème d'extrema avec contraintes picto

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

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Extremums en plusieurs variables  ---> I Problème d'extrema sans contraintes

I-1 Rappel sur les fonctions d'une variable réelle

II Problème d'extrema avec contraintes picto

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

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Dans le cas d'une fonction d'une variable sur un segment, que fait-on pour trouver les maximums d'une fonction ?

Voici un petit échantillon de fonctions pour lesquelles les extremums sont obtenus de manière différente :

Sur un segment [ a , b],

Sur un segment ,

  • On ne sait pas si la fonction admet un extremum ou est bornée.

  • Si la fonction est dérivable, si l'extremum existe et est atteint en c, la dérivée de f s'annule en c.
Extremums en plusieurs variables  ---> I Problème d'extrema sans contraintes  ---> I-1 Rappel sur les fonctions d'une variable réelle

I-2 Topologie

II Problème d'extrema avec contraintes picto

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

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Soit D un sous-ensemble de .

Définition

On appelle intérieur de D l'ensemble des points A de D tels qu'il existe une boule centrée en A et de rayon strictement positif contenue dans D.

Définition

On appelle bord de D l'ensemble des points A de tels que toute boule centrée en A et de rayon strictement positif rencontre à la fois D et son complémentaire.

Le bord de D est aussi le bord de son complémentaire.

Définition

On dit que D est ouvert s'il est égal à son intérieur.

Définition

On dit que D est fermé s'il contient son bord, autrement dit que son complémentaire est ouvert.

I-3 Définitions

II Problème d'extrema avec contraintes picto

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

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Soit f une fonction d'un sous-ensemble D de dans et A un point de D.

Définition

On dit que f admet un maximum en A si
pour tout point .

Définition

On dit que f admet un minimum en A si
pour tout point .

Soit f une fonction d'un sous-ensemble D de dans et A un point de D qui est à l'intérieur de D.

Définition

On dit que f admet un maximum (local) en A si il existe un réel positif r > 0 tel que
pour tout point M de la boule de centre A et de rayon r.

Définition

On dit que f admet un minimum (local) en A si il existe un réel positif r > 0 tel que
pour tout point M de la boule de centre A et de rayon r.

I-4 Existence

II Problème d'extrema avec contraintes picto

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

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Théorème

Soit f une fonction continue sur un ensemble fermé borné D de . Alors f admet un maximum et un minimum absolu dans D, c'est-à-dire qu'il existe M0 et M1 dans D tel que

pour tout point M de D.

En particulier, une telle fonction est bornée sur D.

Le théorème précédent assure l'existence d'extrema sous certaines conditions. Il ne reste plus qu'à chercher comment les trouver.

I-5 Condition nécessaire et points critiques

II Problème d'extrema avec contraintes picto

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

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I-6 Etude locale d'un point critique

II Problème d'extrema avec contraintes picto

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

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Pour déterminer si un point critique est un extremum, on doit faire une étude plus précise de la fonction :

Dans le cas d'une fonction d'une variable réelle , l'outil de démonstration est la formule de Taylor Aide

C'est la même chose ici :

Théorème

Soit M0 un point critique de f. Considérons le trinôme
)
  1. si QM0(X) est strictement positif pour tout X, f a un minimum local en M0 ;

  2. si QM0(X) est strictement négatif pour tout X, f a un maximum local en M0 ;

  3. si QM0(X) a deux racines réelles distinctes , on dit que f a un point col en M0 ;

  4. si QM0(X) a deux racines réelles confondues , on dit que le point critique M0 de f est dégénéré . Autrement dit, on ne sait rien dire.

Démonstration

Fin de la démonstration

I-7 Représentation graphique d'un extremum

II Problème d'extrema avec contraintes picto

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

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Exercice

Reconnaitre un extremum sur un dessin

I-8 Méthode

II Problème d'extrema avec contraintes picto

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

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Pour trouver les points critiques, on a donc trouvé une condition analytique. Attention le théorème n'assure pas que l'on a un extremum. Il s'agit d'une condition nécessaire.

On cherche donc les extrema parmi

  1. les points critiques

  2. les points où f n'est pas pas de classe C1 ;

  3. sur les points de qui sont sur le bord.

Le troisième cas n'arrive pas dans le cas où est ouvert. Mais dans ce cas l'existence d'un extremum n'est pas assurée.

Exemple de toutes sortes.

Exercice

Un problème de gouttière

Exercice

La méthode des moindres carrés

Exercice

Maximum sur un domaine fermé

II Problème d'extrema avec contraintes

I Problème d'extrema sans contraintes picto

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Extremums en plusieurs variables  ---> II Problème d'extrema avec contraintes

II-1 Définition

I Problème d'extrema sans contraintes picto

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Définition

Soit f et g deux fonctions d'un domaine de dans . On dit que f soumis à la contrainte g = 0 a un maximum en A dans si
pour tout vérifiant g(M) = 0.

La représentation graphique de la contrainte peut être une courbe dans le cas de ou une surface dans le cas de . Il peut aussi y avoir plusieurs contraintes : deux contraintes dans signifient en général que les points sont sur une courbe.

II-2 Condition nécessaire et points critiques

I Problème d'extrema sans contraintes picto

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Extremums en plusieurs variables  ---> II Problème d'extrema avec contraintes  ---> II-2 Condition nécessaire et points critiques

II-3 Condition nécessaire dans le cas de deux conditions

I Problème d'extrema sans contraintes picto

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

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Soient f, g1 et g2 trois fonctions C1 de

Théorème

Soit M0 un extremum de f soumis aux conditions g1(x,y,z) = 0, g2(x,y,z) = 0. Alors, les vecteurs grad f(M0 ), grad g1(M0) et grad g2(M0 ) forment un système de vecteurs liés dans .

Autrement dit, lorsque grad g1(M0 ) et grad g2(M0 ) engendrent un plan (ce qui se produit en général), le gradient de f en M0 appartient à ce plan.

C'est ce qu'on appelle les conditions de Lagrange.

Le problème et le théorème ont des généralisations à des dimensions plus grandes, mais nous nous contenterons ici de ces cas-là.

Extremums en plusieurs variables  ---> II Problème d'extrema avec contraintes  ---> II-3 Condition nécessaire dans le cas de deux conditions

II-4 Méthode

I Problème d'extrema sans contraintes picto

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

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Les extrema d'une fonction f soumise à une ou plusieurs contraintes g1(x,y) = 0, g2(x,y) = 0, ... doivent être cherchés

  1. parmi les points M où les fonctions ne sont pas C1, parmi les points où les grad gi(M) sont des vecteurs liés (par exemple nuls).

  2. parmi les points M où grad f (M) appartient à l'espace vectoriel engendré par grad g1(M), grad g2(M) ... (points critiques ou points vérifiant la condition de Lagrange)

  3. aux bords s'il y en a.

Dans le cas d'une seule contrainte g(M) = 0, la deuxième condition dit que grad f (M) est colinéaire à grad g (M) en un tel point M.

II-5 Exercices

I Problème d'extrema sans contraintes picto

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Exercice

Maximum d'un volume

Exercice

Maximum d'un volume avec conditions

Exercice

Distance à une conique

Exercice

Distance à une courbe

Exercice

Deux conditions

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

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II Problème d'extrema avec contraintes picto

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Soit une fonction et un sous-ensemble de défini par

g est une fonction de dans .

Pour trouver le maximum et minimum absolu de f sur :

  • Trouver tous les points critiques de f dans l'intérieur de , c'est-à-dire les points de où le gradient de f est nul.

  • Trouver les points critiques de f restreint au bord de : on peut par exemple utiliser la méthode des extrema liés, il s'agit alors de trouver les points M vérifant g(M) = 0 et tel que grad f (M ) est colinéaire à grad g (M ).

Si le bord peut se décrire de manière explicite (par exemple une coordonnée s'exprimant en fonction des autres), on peut aussi exprimer la restriction de f à comme une fonction de n - 1 variables dont il faut trouver les extrema.

Exercice

Trouver les extrema de la fonction f définie par f(x,y) = 2x2 - 5y2 + 2x y - 3 sur le domaine défini par .

Aide

Extremums en plusieurs variables  ---> III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine


Par Version interactive
Dernière modif. 2010-11-11 2:58:35
Description: document sur les extremums de fonctions de plusieurs variables.

Keywords: extremum, maximum, critique, contrainte,fonction, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity