Formes quadratiques

Formes quadratiques



Ce cours s'adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d'une façon indissociable l'étude des concepts bilinéaires des formes quadratiques avec l'étude matricielle et géométrique. C'est un cours illustré par des exemples aléatoires et des exercices avec plusieurs réponses possibles ou des avertissements selon l'erreur ainsi que des exercices à étapes et utilisant des bases de données importantes.

I Formes quadratiques et formes polaires associées

II Orthogonalité

III Décomposition en carrés d'une forme quadratique

IV Formes quadratiques sur un espace euclidien

V Application: Coniques du plan affine euclidien

Vous trouverez ici une version pdf : docquadratic.pdf
Ce cours a été préparé dans le cadre du projet européen TEMPUS CD-JEP-31147-2003, intitulé "Mathématiques Assistées à l'Ordinateur et Modélisation" et qui entre dans la rubrique Multimédias dirigée par Marie-Claude David et Bernadette Perrin-Riou, enseignants-chercheurs à l'université Paris-Sud.

VI Tous les exercices WIMS utilisés

I Formes quadratiques et formes polaires associées

Formes quadratiques  ---> I Formes quadratiques et formes polaires associées

I-1 Définitions

I-1-1 Forme quadratique, Forme polaire

Définition

On appelle forme quadratique de E toute application telle que
  1. .
  2. l'application
    est une forme bilinéaire symétrique.
La forme bilinéaire b est appelée la forme polaire de q.

Remarque

Si q est une forme quadratique de forme polaire b, alors

Exemple


  • Soit muni de son produit scalaire usuel noté < , >. L'application
    est une forme quadratique sur E.
  • Soit , l'application
    est une forme quadratique bien connue en mécanique quantique.

Exemple
Exemple

I-1-2 Matrice d'une forme quadratique

Définition [Matrice d'une forme quadratique]

Soit une base de E. On appelle matrice de q relativement à la matrice de sa forme polaire b relativement à et on note
Soient x et y deux vecteurs de E, notons X et Y les matrices des composantes de x et de y dans la base . Alors
et

Remarque

est une matrice symétrique.

Exemple

Définition [Effet de changement de bases]

Soient et deux bases de E, notons P la matrice de passage de à . Si q est une forme quadratique de E de forme polaire associée b, on a vu dans le chapitre précédent que la relation entre les matrices de la forme bilinéaire b dans les différentes bases est donnée par
et donc

I-2 Expression analytique d'une forme quadratique

Formes quadratiques  ---> I Formes quadratiques et formes polaires associées  ---> I-2 Expression analytique d'une forme quadratique

I-3 Rang et noyau d'une forme quadratique

Définition

  1. Soit q une forme quadratique de E et une base de E, . On appelle rang de q , noté , le rang de la matrice M.
  2. On appelle noyau de q le sous-espace vectoriel de E :

Remarque

Remarquons que ne dépend pas de la base choisie et le noyau de q est celui de sa matrice relativement à n'importe quelle base. En effet, si est une autre base de E et , alors et , d'autre part, il est clair que , réciproquement, si alors
donc et par conséquent, .

Exemple

I-4 Formes quadratiques non dégénérées

Définition

Soit une forme quadratique de forme polaire b. On dit que
  1. q est non dégénérée si b est non dégénérée c'est-à-dire
  2. q est positive si b est positive.
  3. q est définie positive si b est définie positive.
La proposition suivante donne des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une forme quadratique soit non dégénérée.

Proposition

Soit q une forme quadratique de E. Considérons une base de E. Les assertions suivantes sont équivalentes:
  1. q est non dégénérée.
  2. .
  3. La matrice M de q dans la base est inversible.

Démonstration
Par définition, q est non dégénérée si et seulement si son noyau est nul, on déduit d'après le théorème du rang que le rang de q est égal à la dimension de E ce qui est équivalent à , c'est-à-dire à ce que la matrice M est inversible.
Fin de la démonstration

II Orthogonalité

Formes quadratiques  ---> II Orthogonalité

II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique

Formes quadratiques  ---> II Orthogonalité  ---> II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique

II-1-1 Définitions et Remarques

Définitions

  1. Soit b une forme bilinéaire symétrique sur E. Deux vecteurs x et y de E sont dits orthogonaux par rapport à b si b(x, y) = 0.
  2. Une base (v1,...,vn) de E est dite orthogonale par rapport à b si
  3. Si q est la forme quadratique associée à b. Deux vecteurs x et y sont dits orthogonaux par rapport à q s'ils sont orthogonaux par rapport à b.
  4. Pour tout sous-espace vectoriel F de E, on définit l'orthogonal de F pour b , noté :

Remarques

Soit une forme bilinéaire symétrique.
  1. Une base de E est orthogonale par rapport à b si et seulement si est diagonale.
  2. Soit une base de E et , trouver une base orthogonale par rapport à b revient à trouver telle que soit diagonale.

Définition [Vecteur isotrope]

Un vecteur x est dit isotrope (pour q) si q(x) = 0.

Remarques

  1. Il se peut qu'il existe des vecteurs isotropes non nuls. Par exemple, si et
    le vecteur est isotrope pour q.
  2. Les vecteurs du noyau d'une forme quadratique sont isotropes mais la réciproque est fausse.
  3. Si tout vecteur de E est isotrope, alors la forme quadratique q est nulle.

II-1-2 Existence de bases orthogonales

Proposition


Démonstration
Montrons ce résultat par récurrence sur n, la dimension de E. La propriété est triviale pour n=1. Supposons-la vraie pour tout -espace vectoriel de dimension n et soient E un -espace vectoriel de dimension finie n+1 et b une forme bilinéaire symétrique sur .
Si b = 0, alors toute base de E est orthogonale pour b et E admet au moins une base. Supposons donc . Si tout vecteur de E est isotrope, alors b est nulle.
Donc, il existe tel que . Considérons et la restriction b' de b à .

Lemme

Soit e1 un vecteur tel que , alors les sous-espaces vectoriels et sont supplémentaires dans E.
[Démonstration du lemme] Soit . Pour tout de , on a
Ceci montre que tout élément x de E se décompose d'une façon unique sur et F, donc et F sont supplémentaires dans E. En particulier, .
Fin de la démonstration
Revenons à la démonstration de la proposition. D'après l'hypothèse de récurrence, il existe une base de F qui est orthogonale pour b'. Notons , on a :
  • est une base de E car et F sont supplémentaires.
  • , b(e1,ej)=0 car
  • ,
Ainsi, est une base de E orthogonale pour b.

Corollaire

Pour toute matrice symétrique S , il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telle que
Démonstration
Soit S une matrice symétrique réelle et notons b la forme bilinéaire symétrique dont la matrice relativement à la base canonique de est S. D'après la proposition précédente, il existe une base orthogonale par rapport à b, ainsi la matrice de b dans cette base est diagonale. D'après le théorème de changement de bases pour les formes bilinéaires symétriques, en notant P la matrice de passage de la base canonique à la base , on a .
Fin de la démonstration

Remarque

Attention, les éléments de la diagonale de D ne sont pas nécessairement les valeurs propres de S.

Corollaire

Toute forme quadratique q sur E est décomposable, d'au moins une façon, en une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes.
Démonstration
Soient q une forme quadratique sur E de forme polaire b, d'après ce qui précède, il existe une base orthogonale de E et la matrice D de q dans cette base est diagonale . Soit x un vecteur de E de composantes dans la base . L'expression analytique de q s'écrit alors
En notant
les sont des formes linéaires, de plus la famille est libre car c'est la base duale de .
Fin de la démonstration

Exemple

II-2 Signature d'une forme quadratique

Formes quadratiques  ---> II Orthogonalité  ---> II-2 Signature d'une forme quadratique

Index

Théorème

Soit une forme quadratique. Il existe une base de E orthogonale par rapport à q et des entiers r et s vérifiant tels que
Les entiers r et s ne dépendent que de q .
Le couple (r, s) s'appelle signature de q et le rang de q vaut r + s.

Démonstration
Fin de la démonstration

Exemple



Soit , la forme quadratique définie pour v = (x , y , z) par
Q(v) =
Sa matrice dans la base canonique est

A=[].


Sa signature est ().


Exercice

Signature et rang

La proposition suivante donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une forme quadratique soit non dégénérée.

Proposition

Soit q une forme quadratique de E de signature (r, s). Considérons une base de E. Alors, q est non dégénérée si et seulement si r + s = n

Démonstration
Par définition, q est non dégénérée si et seulement si son noyau est nul, on déduit d'après le théorème du rang que le rang de q est égal à la dimension de E ce qui est équivalent à r + s = n.
Fin de la démonstration

Proposition

Soient une forme quadratique de signature (r, s).
  1. q est positive
  2. q est définie positive

III Décomposition en carrés d'une forme quadratique

Formes quadratiques  ---> III Décomposition en carrés d'une forme quadratique

Index

III-1 Méthode de Gauss

III-2 Exemples

III-3 Décomposition dans une base de vecteurs propres

III-4 Formes quadratiques équivalentes

III-1 Méthode de Gauss

Formes quadratiques  ---> III Décomposition en carrés d'une forme quadratique  ---> III-1 Méthode de Gauss

Index
Le but de cette méthode est d'écrire une forme quadratique comme une somme de carrés.

Théorème

Soit q une forme quadratique non nulle de E alors il existe des formes linéaires indépendants de E et des réels non nuls tels que
en outre, on a
et

Démonstration
On raisonne par récurrence sur la dimension de E.
pour n=1. Soit (e1) une base de E, tout vecteur s'écrit x = x1 e1, donc q(x) = q(e1) x21 et alors car . On choisit dans ce cas
Soit , supposons le résultat vrai pour toute forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension et soit q une forme quadratique de E.Soit une base de E, on sait que
Fin de la démonstration

Remarque

La démonstration du théorème précédent est la méthode pratique de réduction de Gauss.

Corollaire

Sous les hypothèses du théorème précédent, la signature de q est (r, s) où
et

Remarque utile
La décomposition de Gauss permet aussi de déterminer une base orthogonale par rapport à la forme quadratique.

III-2 Exemples

Formes quadratiques  ---> III Décomposition en carrés d'une forme quadratique  ---> III-2 Exemples

Index
Dans cette sous section, on donne trois exemples de réduction de Gauss d'une forme quadratique. Lire la preuve du théorème précédent en regardant les exemples.

III-2-1 Exemple 1: Forme quadratique avec carrés

Exemple

Exemple

Soit ,
Soit On choisit la forme linéaire telle que la famille soit une base de l'espace dual de E. Soit

Posons
On a q(x', y', z') = x'2 - y'2 donc si tel que
les vecteurs de composantes les colonnes de P forment une base orthogonale par rapport à q. Une base orthogonale par rapport à q est donc (v1, v2, v3) où , et

III-2-2 Exemple 2: Forme quadratique sans carrés

Exemple

III-2-3 Exercices

Exercice

III-3 Décomposition dans une base de vecteurs propres

Formes quadratiques  ---> III Décomposition en carrés d'une forme quadratique  ---> III-3 Décomposition dans une base de vecteurs propres

Index

Proposition

Soient une base de E et q une forme quadratique sur E, notons , alors il existe une base orthogonale par rapport à q formée par des vecteurs propres de M.

Démonstration
Soit une base de E. On sait que est symétrique réelle, donc il existe telle que soit diagonale. Alors est une base orthogonale par rapport à q.
Fin de la démonstration

Corollaire

Soit une forme quadratique de signature (r, s) et une base de E. Si , alors r est le nombre de valeurs propres positives de M et s est le nombre de valeurs propres négatives de M.



Exemple

Exercice

Signature d'une forme quadratique

Exercice

Rang d'une forme quadratique

Proposition

Soit une forme quadratique de signature (r, s).
  1. q est positive Longleftrightarrow toutes les valeurs propres de M sont positives.
  2. q est définie positive Longleftrightarrow toutes les valeurs propres de M sont strictement positives.

III-4 Formes quadratiques équivalentes

Formes quadratiques  ---> III Décomposition en carrés d'une forme quadratique  ---> III-4 Formes quadratiques équivalentes

Index

Définition

Deux formes quadratiques et de E sont dites équivalentes s'il existe un automorphisme tel que .

Remarque

La relation binaire "équivalente" est une relation d'équivalence.

Proposition

Soient une base de E, et deux formes quadratiques de E de matrices respectives relativement à la base , et . Alors, et sont équivalentes si et seulement s'il existe une matrice P inversible telle que .

Démonstration
Les formes quadratiques et sont équivalentes si et seulement s'il existe un automorphisme u de E tel que . Notons , soient et X la matrice des composantes de x dans . On a alors
Fin de la démonstration

Nous admettons ce résultat qui caractérise deux formes quadratiques équivalentes.

Théorème

Deux formes quadratiques sont équivalentes si et seulement si elles ont la même signature.

Exercice

Formes quadratiques équivalentes

IV Formes quadratiques sur un espace euclidien

Formes quadratiques  ---> IV Formes quadratiques sur un espace euclidien

Index

IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint

IV-2 Bases orthonormées, orthogonales par rapport à une forme quadratique

IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint

Formes quadratiques  ---> IV Formes quadratiques sur un espace euclidien  ---> IV-1 Forme quadratique et endomorphisme autoadjoint

Index
Soit E un espace euclidien dont le produit scalaire est noté < , >.

Proposition

Soit u un endomorphisme de E. Alors l'application
est une forme bilinéaire sur E. De plus b est symétrique si et seulement si u est autoadjoint.

Théorème

Soit q une forme quadratique sur E. Alors, il existe un unique endomorphisme autoadjoint u de E tel que q(x) = <u(x), y> pour tout et la matrice de u dans une base orthonormée est celle de q dans la même base.

Démonstration
Fin de la démonstration

IV-2 Bases orthonormées, orthogonales par rapport à une forme quadratique

Formes quadratiques  ---> IV Formes quadratiques sur un espace euclidien  ---> IV-2 Bases orthonormées, orthogonales par rapport à une forme quadratique

Index

Théorème

Soit q une forme quadratique de E. Il existe une base orthonormée de E orthogonale par rapport à q.

Démonstration
Soit u l'endomorphisme autoadjoint associé à q. On sait que u est diagonalisable et il existe une base orthonormée de E formée par des vecteurs propres de u. La matrice de u dans la base , qui est aussi d'après la remarque précédente la matrice de q dans la même base, est diagonale, d'où est orthogonale par rapport à q.
Fin de la démonstration

Remarque importante

Soient q une forme quadratique de E et une base orthonormée de E, notons . Pour déterminer une base orthogonale par rapport à q et orthonormée par rapport au produit scalaire < , >, il faut absolument considérer une base orthonormée de vecteurs propres de la matrice M. Par contre, pour avoir juste une base orthogonale par rapport à q, on peut utiliser la réduction de Gauss.

Exemple

Exercice

Bases orthogonales

V Application: Coniques du plan affine euclidien

Formes quadratiques  ---> V Application: Coniques du plan affine euclidien

Index
Dans cette partie on va donner aux coniques qui sont bien connues géométriquement, un aspect algébrique et on va les définir à partir des formes quadratiques.
Une conique est la courbe obtenue en coupant un cône par un plan.

V-1 Définitions

V-2 Forme réduite d'une équation de conique

V-3 Centre de symétrie d'une conique

V-4 Classification des coniques

V-5 Tableaux récapitulatifs

V-6 Exemples et exercices

V-1 Définitions

Formes quadratiques  ---> V Application: Coniques du plan affine euclidien  ---> V-1 Définitions

Index
Soit un espace affine euclidien de dimension 2 muni d'un repère orthonormé . On note la matrice des coordonnées d'un point M de .

Définition

Une conique de est le sous-ensemble de défini dans par une équation du type
où On note q la forme quadratique sur E définie par
A sa matrice
et psi la forme linéaire sur E
de matrice B = (d, e) La conique admet donc pour équation
L'équation de la conique s'écrit aussi

V-2 Forme réduite d'une équation de conique

Formes quadratiques  ---> V Application: Coniques du plan affine euclidien  ---> V-2 Forme réduite d'une équation de conique

Index
Soit u l'endomorphisme autoadjoint de E tel que
Comme u est autoadjoint, il est diagonalisable dans une base (v1 , v2 ) orthonormée de vecteurs propres associés aux valeurs propres respectives lambda et mu de u. Dans le repère , on note (x', y') les composantes de M, alors il existe tel qu'une équation de dans soit
Cette forme d'équation est appelée réduite de la conique
Exemple

V-3 Centre de symétrie d'une conique

Formes quadratiques  ---> V Application: Coniques du plan affine euclidien  ---> V-3 Centre de symétrie d'une conique

Index

Définition

Soit et la symétrie centrale de de centre omega, on dit que omega est centre de symétrie de , si pour tout point M de , appartient à .
Nous allons donner maintenant une condition nécessaire et suffisante pour qu'un point du plan soit le centre de symétrie d'une conique.

Proposition

Soit omega un point de coordonnées dans . Les assertions suivantes sont équivalentes
  1. omega est centre de symétrie de
  2. (S)

Démonstration
Soit le repère , un point M de coordonnées X dans a pour coordonnées Y=X-X0 dans . On détermine une équation de dans ainsi:


Donc une équation de dans est
D'autre part, a pour coordonnées Y'= -Y dans . On a donc

Si de plus alors
ce qui est équivalent à
Donc, dans ce cas omega est centre de symétrie de si et seulement si M' appartient à si et seulement si , c'est-à-dire coordonnée par coordonnée
Fin de la démonstration

Remarque

  • Il existe un unique centre de symétrie de la conique si et seulement si A est de rang 2, c'est-à-dire si q est non dégénérée.
  • Dans le cas où q est dégénérée, le système (S) n'est pas de Cramer et la conique n'a pas nécessairement un centre de symétrie.

Proposition [Equation réduite de ]

  1. Il découle immédiatement de la proposition précédente que omega est centre de symétrie de si et seulement si l'équation de dans est
  2. On note (x'',y'') les composantes de M dans le repère , alors l'équation de dans a l'une des deux formes suivantes:
Sans perte de généralité, on suppose que dans tout ce qui suit.

V-4 Classification des coniques

Formes quadratiques  ---> V Application: Coniques du plan affine euclidien  ---> V-4 Classification des coniques

Index

Soit une conique d'équation Eq3 dans un repère , omega est donc le centre de symétrie de . On note q la forme quadratique .
Nous allons classifier les coniques suivant le rang de la forme quadratique associée ou encore suivant lambda, mu, et .

Théorème

  1. Si le rang de q est égal à 2 alors est une ellipse ou une hyperbole ou la réunion de deux droites.
  2. Si le rang de q est égal à 1 alors est une parabole ou la réunion de deux droites ou un point.

Démonstration
Fin de la démonstration

Les résultats géométriques du théorème précédent sont récapitulés dans les tableaux suivants.

V-5 Tableaux récapitulatifs

Formes quadratiques  ---> V Application: Coniques du plan affine euclidien  ---> V-5 Tableaux récapitulatifs

Index
Les tableaux suivant récapitulent les différentes formes réduites dégénérées et non dégénérées de la conique qui a pour équation

V-5-1 Cas d'une ellipse C'est le cas où

                                
h = 0
est une ellipse d'équation , de centre omega et d'axes et   Ellipse d'équation:


V-5-2 Cas d'une hyperbole C'est le cas où .


est une hyperbole d'équation   , de centre omega et  d'axes et   Hyperbole d'équation :
h = 0 est la réunion de deux droites passant par   omega et d'équations
Réunion de deux droites d'équations: y = -0.83333333x et y = 0.83333333x
est une hyperbole d'équation   , de centre omega et  d'axes et   Hyperbole d'équation :



V-5-3 Cas d'une parabole Dans ce cas la conique a pour équation


est la réunion de deux droites parallèles à l'axe des y et d'équations Droites d'équations y = -0.81649658 et y = 0.81649658
  est une parabole de sommet , d'axe principal et a pour équation Parabole d'équation : x2 - 10y = 0


V-6 Exemples et exercices

Formes quadratiques  ---> V Application: Coniques du plan affine euclidien  ---> V-6 Exemples et exercices

Index

Exemple

Dans l'espace affine euclidien usuel , on considère la conique d'équation

Soit la forme quadratique
On a
donc la signature de q est (2, 0) et alors est une ellipse.
L'endomorphisme autoajoint u de tel que
a pour matrice dans la base canonique
Les valeurs propres de varphi sont
et
et
et
sont des vecteurs propres associés à lambda respectivement mu Les axes de symétrie de sont les droites passant par l'origine de vecteurs directeurs respectifs u1 et u2.

Exercice

Invariants d'une conique

VI Tous les exercices WIMS utilisés

Formes quadratiques  ---> VI Tous les exercices WIMS utilisés

Index
Les exercices suivants se trouvent aussi au cours du texte.


Par Version interactive
Dernière modif.
Description: cours sur les formes quadratiques destiné aux étudiants de L2.

Keywords: Formes quadratiques, formes polaires, signature, réduction, coniques, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity