Changement de variables

Objectifs

La méthode du changement de variable est très utile pour le calcul d'intégrale ou de primitive ; elle peut conduire à des erreurs si elle n'est pas appliquée avec soin. On peut aussi se compliquer la vie inutilement si on l'applique de travers.

Guide

Le théorème

Théorème : Soit varphi une fonction réelle de classe C1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :

Cas où le changement de variables est évident

On doit calculer ; on voit que x apparaît toujours par l'intermédiaire d'une expression plus complexe et de sa dérivée :
,
on fait alors le changement de variable : On applique à la fonction f le
théorème.
Soit varphi une fonction réelle de classe C1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :

Concrètement, on vérifie que la fonction varphi est C1 sur [a,b] et on remplace

par u
  par   du
les bornes a et b   par    et .

On obtient ainsi une nouvelle intégrale égale à l'intégrale .

Remarque : Quand x vaut a, la nouvelle variable vaut ...

Exemple

Exemple

Pour voir le théorème en même temps.

Soit varphi une fonction réelle de classe C1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :

Calculons dx. La fonction à intégrer est de la forme f(sin(x) ) où est la dérivée de et où f est la fonction définie par f(u)= u3 . On fait donc le changement de variable u=sin(x) :

  • On prend f(u)=u3 et .
  • On vérifie que varphi est une fonction C1 sur l'intervalle [3 ,7].
  • On vérifie que f est une fonction continue sur l'intervalle .
  • Puis on remplace
    sin(x)   par    u
    dt   par    du
    les bornes 3 et 7   par    sin(3 ) et sin(7)

On obtient donc :

.

Cas où le changement de variables n'est pas évident

On peut aussi utiliser la formule du théorème
Soit varphi une fonction réelle de classe C1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :
de la droite vers la gauche. Pour calculer où f est une fonction continue sur , on a envie de poser .

Contrairement à ce qu'il est souvent écrit, on n'a pas besoin de définir la fonction réciproque de varphi. Par contre, il est essentiel de trouver un intervalle [a,b] tel que

On peut alors appliquer le théorème

Soit varphi une fonction réelle de classe C1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :
pour faire le changement de variable :
.

Concrètement, une fois choisie la fonction varphi :
  • on choisit a et b vérifiant et et on détermine l'intervalle ;
  • on vérifie que varphi est C1 sur l'intervalle [a,b] ;
  • on vérifie que f est une fonction continue sur ; c'est immédiat dans le cas ;
  • on remplace
    xpar
    dx par
    les bornes alpha et beta par a et b

On obtient ainsi une nouvelle intégrale égale à l'intégrale .

Remarque :

Exemple typique Exercices corrigés

Exemple typique

Pour voir le théorème.
Soit varphi une fonction réelle de classe C1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :

On veut calculer l'intégrale . On a envie de poser x=cos( t) et de prendre comme fonction varphi la fonction définie par sur un intervalle à déterminer.

On dit ici que l'on fait le changement de variables x=cos(t) pour t compris entre 0 et pi. Il ne reste plus qu'à finir les calculs.

Sur l'intervalle [0,pi], la fonction sin est positive, on a donc :

Remarquons que si on avait pris les bornes saugrenues a= -7pi et b=8pi, la fonction sin n'aurait pas été positive entre -7pi et 8pi et le calcul aurait été moins simple !

Exercices corrigés

Exercice : Vous voulez calculer l'intégrale . Le théorème justifie-t-il le changement de variables x=cos(t) pour t compris entre 6pi et 3pi/2 ? Que vaut l'intégrale transformée ?

Solution

Exercice : Soit . Le théorème justifie-t-il le changement de variables x=Arctan(2t) ? Que choisirez-vous pour les bornes a et b de la nouvelle intégrale ?

Solution

Changement de variables dans une primitive

Pour le calcul de la primitive sur l'intervalle [c,d] (avec ), on applique le changement de variable si on peut

Pour remplir ces conditions, on est donc amené à choisir un changement de variable varphi bijectif sur [c,d] afin de pouvoir considérer la fonction réciproque psi de varphi sur .

Concrètement,
  • pour tout x de [c,d], on pose y=psi(x)
  • on vérifie que varphi est C1 sur
  • on vérifie que f est continue sur [c,d].

La primitive F est alors définie sur [c,d] et on a en tout point x de [c,d]

Exemple :
Le changement de variable u=cos(t) appliqué à t compris entre pi/2 et Arccos(x) donne (par définition de Arccos, sin(t) est toujours positif ou nul pour t compris entre pi/2 et Arccos(x)) :

Exercices interactifs

Exercice : Dérivation d'une intégrale fonction des bornes

Exercice : Intégration interactive : changement de variables


Par Version interactive
Dernière modif. 20030824
Description: méthode d'intégration.

Keywords: integration, integrale, primitive,changement,, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity