Algèbre linéaire : applications linéaires

Objectifs

Guide

Définitions

Définition d'une application linéaire

Définition Soient E et F deux espaces vectoriels sur le même corps K. Une application f  est une application linéaire si :
  1. pour tous u et v dans E, f(u+v) = f(u) + f(v) ;
  2. pour tous u dans E et lambda dans K, .

Cas particuliers. Soit f  une application linéaire.
  • Si F est le corps K, on dit que f est une forme linéaire sur E.
  • Si E = F, on dit que f est un endomorphisme de E.
  • Si f est bijective, on dit que f est un isomorphisme de E dans (ou sur) F.
  • Si f est bijective et E = F, on dit que f est un automorphisme de E.

On note L(E,F) l'ensemble de toutes les applications linéaires de E dans F. Si E = F, on note L(E,F) = L(E).

Propriétés

Proposition Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K et f  une application linéaire. Alors :
  1. f(0) = 0 et pour tout u in E, f(-u) = -f(u).
  2. Pour tous dans K et u1, u2, ... , un dans E, on a :

    .

  3. Si G est un sous-espace vectoriel de E, alors f(G) est un sous-espace vectoriel de F.

Proposition(définition équivalente d'application linéaire) Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K. Une application est une application linéaire si et seulement si

pour tous u et v dans E et lambda in K, .

Exercice : Image d'un vecteur par une application linéaire

Exemples

  • Pour tout K-ev E, les applications idE et 0E de E dans E définies pour u in E par :
    idE(u) = u et 0E(u) = 0
    sont des applications linéaires de E dans E, donc des endomorphismes de E. On appelle idE l'application identique ou identité de E, idE est un automorphisme de E. On appelle 0E l'application nulle de E (malgré la notation, ne pas confondre avec l'élément neutre de E ), 0E n'est pas un automorphisme de E.
  • L'application , f((x,y,z)) = -2x -y + 7z, est une forme linéaire sur .
  • L'application , f((z1 , z2)) = (z2 , 0) est un endomorphisme de .
  • L'application , f((x,y)) = (y,x), est un automorphisme de .
  • Soit Ain Mp,n(K). L'application f: Mn,1 rightarrow Mp,1, , est une application linéaire.
  • L'application , où D = Vect((-1,5)) (droite vectorielle de engendrée par le vecteur (-1 , 5)), définie pour lambda in RR par lambda (-1,5) est un isomorphisme du RR-ev RR de dimension un sur le sev D de dimension un du RR-ev .

Identification

Les isomorphismes nous permettront d'identifier deux espaces vectoriels. Ainsi, on ne peut pas dire que la droite D engendré par le vecteur (1 , 1) (géométriquement, la première bissectrice du plan ) "est" RR : D n'est pas un ensemble de nombres, mais un ensemble de couples. Par contre, " D est isomorphe à RR" est le langage qui traduit le fait que, abstraction faite de la nature des éléments de RR et de D, ces deux espaces vectoriels ont les mêmes propriétés ou le même "comportement".

C'est bien une identification, pas une égalité : on aurait aussi pu considérer la droite comme engendrée par le vecteur (6 , 6) et l'isomorphisme de RR dans D (c'est-à-dire l'identification de RR avec D) aurait alors été l'isomorphisme

et donc un autre isomorphisme.

Noyau et image

Noyau et image

Proposition et définition : Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K et 5 une application linéaire.
  1. L'ensemble = est un sous-espace vectoriel de E, appelé le noyau de f.
  2. L'ensemble est un sous-espace vectoriel de F, appelé l'image de f.

Exercice : Image réciproque par une application linéaire

Injectivité, surjectivité

Proposition : Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K et 5 une application linéaire.
  1. f est injective si et seulement si = .
  2. f est surjective si et seulement si .
  3. f est un isomorphisme si et seulement si et .

Proposition et définition : Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K et 5 une application linéaire. On suppose que E est de dimension finie n in NN et que (a1 , a2, ... , an) est une base de E. Alors (f(a1) , f(a2) , ... , f(an)) est une suite génératrice de . Par conséquent le sous-espace est de dimension finie. On appelle rang de f, et on note rang(f), la dimension de .

Bases et propriétés d'une application linéaire

Lorsque l'espace vectoriel de départ E d'une application linéaire f est de dimension finie, l'on peut "tester" des propriétés de f d'après l'action de f sur les vecteurs d'une base de E, comme le précise la proposition suivante.

Proposition : Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K et f une application linéaire. Supposons que E est de dimension finie n non nulle et que (a1 , a2, ... , an) est une base de E.
  1. f est injective si et seulement si (f(a1) , f(a2) , ... , f(an)) est une suite libre de F.
  2. f est surjective si et seulement si (f(a1) , f(a2) , ... , f(an)) engendre F.
  3. f est un isomorphisme si et seulement si (f(a1) , f(a2) , ... ,f(an)) est une base de F.

Exemple

Exemple : Soient a in RR et l'application linéaire définie pour tout par f((x,y,z)) = (2x + y -z , y - z, a z). Soient b in RR et P le plan vectoriel de d'équation x - 2y + b z = 0. On veut déterminer, suivant les valeurs de a et b, le sous-espace vectoriel f(P) de . Déterminons une base de P. Les vecteurs u = (2 , 1 , 0) et v = (-b , 0, 1) sont deux vecteurs non colinéaires de P, donc (u,v) est une base de P. D'après la proposition,
L'image d'une base par une application linéaire est une suite génératrice de l'image de l'application linéaire.
(f(u) , f(v)) est une suite génératrice de f(P). Il y a plusieurs cas :

Exercices

Exercices : ces deux exercices utilisent la matrice associée à une application linéaire.
  • Base de l'image
  • Base du noyau

Exercice : Image et noyau

Exercice : Image et noyau : application linéaire dépendant d'un paramètre

Matrices

Matrice et application linéaire

Soient E et F deux espaces de dimension finie. La présence de bases dans E et F va nous permettre d'associer à toute application linéaire de E dans F une matrice.

Définition Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie n in et p in , respectivement. Soit 5 une application linéaire. Choisissons une base calB= (u1, u2, ... , un) de E et une base calB' = (u'1, u'2, ... , u'p) de F. On appelle matrice de f dans les bases et la matrice , notée (ou parfois ), dont la j -ième colonne est constituée par les coordonnées du vecteur f(aj) dans la base calB', 1 leq j leq n.
Lorsque E = F et calB = calB', on note . La matrice est une matrice carrée d'ordre n. Si on a, pour 1 leq j leq n :

,

c'est-à-dire, si sont les coordonnées du vecteur f(uj) dans la base , alors :

Exemple générique

Prenons n=3 et p=4. Si on a




c'est-à-dire, si , , , sont les coordonnées du vecteur f(uj) dans la base , alors :

Exemple numérique

Prenons n = 3 et p = 2. Si on a

f(u1)= u'1 + u'2
f(u2)= u'1 + u'2
f(u3)= u'1 + u'2

la matrice de f dans les bases calB et calB' est

[ ] .

C'est une matrice ayant 2 lignes et 3 colonnes.

Exercice : Matrice associée à une application linéaire

Notation matricielle et systèmes linéaires

Pour tous x = x1 u1 + ... + xn un in E et y = y1 u'1 + ... + yp u'p in F, on note et les matrices colonnes des coordonnées des vecteurs x dans la base calB et y dans la base calB', respectivement. Si , on a alors :

Autrement dit, si A est la matrice de l'application linéaire f dans les bases calB de E et calB' de F :
résoudre l'équation f(x) = y (où y in F est donné et x in E est l'inconnue) équivaut résoudre le système linéaire
déterminer le noyau Ker f équivaut résoudre le système linéaire homogène ; on obtient alors une base de Ker f, un système d'équations paramétriques de Ker f et un système d'équations cartésiennes de Ker f
déterminer le rang de f, une base et un système d'équations paramétriques de Im f équivaut déterminer le rang de la matrice A c'est-à-dire le rang de la suite des vecteurs colonnes de A
déterminer un système d'équations cartésiennes de Im f équivaut chercher les conditions de compatibilité du système linéaire

Matrices et composition : le problème

Question : Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels de dimensions finies, munis des bases calB, calB' et calB", respectivement. Soient , , . Peut-on calculer C à partir de A et B ? Autrement dit, y a-t-il une opération sur des matrices qui correspond à la composition des applications linéaires qu'elles représentent ?

Exemple : Soient et dont les matrices, par rapport aux bases canoniques calB = (e1 , e2) de et calB' = (e'1,e'2,e'3) de sont, respectivement :

Peut-on calculer la matrice à partir des matrices A et B ?

Produit de matrices

Définition Soient et . On appelle produit de la matrice A par la matrice B, et on note AB, la matrice définie par :

Le produit A B n'est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Le produit de deux matrices carrées de même ordre est toujours défini.

Exemple :
    B =
A =    AB =

Exercices sur le produit de matrices

Exercice : Trouver deux matrices dont le produit est donné II

Exercice : Trouver deux matrices dont le produit est donné II

Matrices et composition : théorème

Proposition : Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur le corps K, de dimension finie q, n et p, munis des bases calB, calB' et calB'' respectivement. Si f in L(E,F) et g in L(F,G), alors :

La situation peut être visualisée :

Corollaire : Soient p , n , q , r des entiers strictement positifs. Si A, A1 et A2 sont dans Mp,n(K), B, B1 et B2 sont dans Mn,q(K), C in M_(q,r)(K)) et lambda in K, on a :

  • A (B C) = (A B) C.
  • lambda .
  • A (B1 + B2) = A B1 + A B2.
  • (A1 + A2) B = A1 B + A2 B.

Corollaire : Soit . L'ensemble Mn(K), muni de l'addition et du produit de matrices :

) et

est un anneau (non commutatif en général), dont l'élément unité est la matrice identité d'ordre n, notée In.

Prolongement par linéarité

Prolongement par linéarité

Comment "fabriquer" des applications linéaires ? Y a-t-il "peu" ou "beaucoup" d'applications linéaires entre deux K-espaces vectoriels ? Nous allons y répondre quand l'espace de départ est de dimension finie.

Théorème : Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps K. Supposons que E est de dimension finie . Soient (a1,a2, ... ,an) une base de E et (b1,b2, ... ,bn) une suite quelconque de vecteurs de F. Alors il existe une et une seule application linéaire 5 telle que :
f(ai) = bi , 1 leq i leq n

Corollaire : Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Supposons que E est de dimension finie et qu'il existe un isomorphisme de E sur F. Alors F est de dimension finie, dim F = dim E et il existe un isomorphisme de F dans E.

Définition : Deux K-espaces vectoriels E et F sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme de E sur F.

C'est le corollaire qui justifie cette définition, lorsque E est de dimension finie ; lorsque ce n'est pas le cas, nous verrons un peu plus tard que l'application réciproque d'un isomorphisme est toujours un isomorphisme.

Corollaire : Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et p in , respectivement. Soit 5 une application linéaire. Choisissons une base calB = (a1, a2, ... , an) de E et une base calB' = (a'1, a'2, ... , a'p) de F. L'application M (K) qui à toute application linéaire f in L(E,F) fait correspondre la matrice de f dans les bases calB et calB' est une application bijective.

Exemple de prolongement

Exemple : Soient u = (1 , -1) et v = (a , 2) deux vecteurs de . Existe-t-il un et un seul endomorphisme f de tel que f(u) = (-2 , 3) et f(v) = (b ,-6) in ? Si oui, calculer f(x , y), pour .

On conclut qu'il existe un et un seul endomorphisme f de vérifiant les conditions données si et seulement si a neq -2.

Exercice sur le prolongement

Exercice Existence d'une application linéaire

Le théorème du rang

Théorème du rang

Un théorème important dont la démonstration utilise la notion de supplémentaire est le théorème du rang
Théorème : Soient E et F deux K-espaces vectoriels, avec E de dimension finie et 5 une application linéaire. Alors Im f est un sous-espace vectoriel de F de dimension finie et on a :

dim E = dim Ker f + rang f

Corollaire fondamental : Soient E et F deux K-espaces vectoriels de même dimension finie n et 5 une application linéaire. Les conditions suivantes sont équivalentes :
  1. f est un isomorphisme de E sur F.
  2. f est injective.
  3. f est surjective.

Exemple d'application du théorème du rang

Application. Le TNI permet de résoudre certains exercices avec peu de calculs. Par exemple, soit l'application linéaire dont la matrice, par rapports aux bases canoniques de et , est

.

Déterminons Ker f.

Allons-y.

Changement de bases

Matrice de changement de bases : définition

Questions Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, munis des bases calB et calB 1, respectivement. Comment changent les coordonnées d'un vecteur de E lorsqu'on change de base dans E ? Comment change la matrice de f in L(E,F) lorsqu'on change de base dans E et dans F ? Nous allons voir que les changements de base s'expriment par des produits de matrices.

Définition : Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n in NN , calB = (u1, u2, ... , un) et calB' = (u'1, u'2, ... , u'p) deux bases de E. La matrice

dont la j-ième colonne est constituée par les coordonnées du vecteur u'j dans la base calB, 1 leq j leq n, est appelée la matrice de passage de la base calB à la base calB'. Si on a, pour 1 leq j leq n :

u'j = u1 + p2j u2 + ... + pnj un,

c'est-à-dire, si , p2j, ..., pnj sont les coordonnées du vecteur u'j dans la base calB, alors :

Matrice de changement de bases : propriétés

Si iE est l'application identique, on a e'j=iE(e'j), 1 leq j leq n, donc P est la matrice de l'application iE dans les bases calB' de E (en tant qu'espace de départ) et calB de E (en tant qu'espace d'arrivée). Cette interprétation de P est fort importante dans la plupart des raisonnements sur les matrices de changement de base :

.

Remarque : On a , la matrice identité d'ordre n. La matrice P est la matrice de iE lorsqu'on considère dans l'espace de départ "la nouvelle base" calB' et dans l'espace d'arrivée "l'ancienne base" calB'. Donc, P est la matrice des "nouveaux vecteurs"de base, par rapport aux "anciens" vecteurs de base.

Proposition : Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie , calB et calB' deux bases de E. La matrice P in Mn(K) de passage de la base calB à la base calB' est inversible et est la matrice de passage de la base calB' à la base calB.

Changements de base sur les vecteurs

Proposition : Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie , calB et calB' deux bases de E et x in E. Notons X et X' les matrices colonnes des coordonnées du vecteur x dans les bases calB et calB', respectivement. Alors :

X = P X' et X' = P-1 X

Exercice : Changement de bases sur les vecteurs

Changement de bases sur les matrices

Proposition : Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies n et p, respectivement. Soient calE et calE' deux bases de E, calF 1 et calF' deux bases de F, P in Mn(K) (resp. Q in Mp(K)) la matrice de passage de passage de la base calE à la base calE' (resp. de la base calF à la base calF'). Soient f in L(E,F), et . Alors :
A' = Q-1 A P

Corollaire. Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n, calE et calE' deux bases de E. Soient f in L(E,F), et . Soit P in Mn(K) la matrice de passage de passage de la base calE à la base calE'. Alors :
A' = P-1 A P

Exercices sur le changement de base

Exercices :
  • Changement de bases
  • Matrice d'une application linéaire dans différentes bases
  • Changement de base théorique


Par Version interactive
Dernière modif. 20040802
Description: document sur l'algèbre linéaire.

Keywords: image, noyau, vecteur, espace vectoriel, sous-espace, base, generateur, matrice, rang, dimension, injective, surjective, application, changement de base, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity