Fractions rationnelles

Guide

Définition d'un élément simple

On appelle fraction rationnelle (sur RR) toute fonction f définie par une relation de la forme

f(x) = P(x)/Q(x)

P et Q sont des polynômes à coefficients réels.

Par exemple,

ou encore

On note l'ensemble des fractions rationnelles sur RR.

On appelle élément simple de une fraction rationnelle d'un des deux types suivants :
  1. type "racine réelle" : avec a et u des nombres réels et k un entier.

    Cet élément simple a pour numérateur une constante et pour dénominateur une puissance d'un polynôme x - uu est un réel.

  2. type "racines complexes conjuguées" :a, b sont des réels, où p, q sont des réels vérifiant p2 - 4q < 0 et où k est un entier naturel non nul. Cet élément simple a pour numérateur un polynôme de degré 1 et pour dénominateur une puissance d'un trinôme sans racine réelle.

Théorème

Théorème

Théorème : Toute fraction rationnelle sur RR s'écrit de façon unique comme somme d'un polynôme (appelé partie entière) et d'éléments simples (appelé partie polaire) dont le type est déterminé par le dénominateur de la fraction rationnelle qu'on décompose.

Cela sera précisé avec les techniques pour les obtenir dans quelques cas particuliers que l'on conseille de regarder d'abord.

Des techniques ou algorithmes plus systématiques sont expliquées d'autre part. Elles sont facilement programmables. Il faut quand même insister sur le fait qu'il y a derrière un problème difficile dont on ne parle pas : trouver les pôles et en particulier les pôles simples de la fraction rationnelle P/Q, c'est-à-dire les racines du polynôme Q.

Théorème général de décomposition en éléments simples sur R

Théorème général de décomposition en éléments simples sur R

Soit P(x)/Q(x) une fraction rationnelle avec

avec les u i des réels, les p j et les q j des réels tels que pj2-4qj < 0 et les n i et les m j des entiers strictement positifs.

Théorème : Il existe une et une seule décomposition en éléments simples de P(x)/Q(x) et elle est de la forme :

avec
  • E un polynôme nul ou de degré égal à deg(P)-deg(Q),
  • les Ai,l, les Bj,k et les Cj,k des réels

De plus si la fraction est irréductible (c'est-à-dire qu'elle ne se simplifie pas), les Ai,ni sont tous nons nuls et les polynômes Bj,mj+Cj,mjx sont tous non nuls (c'est-à-dire que soit Bj,mj, soit Cj,mj est non nul)

Calcul de la partie entière

Proposition : La partie entière E(x) de la fraction rationnelle P(x)/Q(x) est le quotient de P par Q dans la division euclidienne de P par Q.

Ainsi :

P(x) = E(x) Q(x) + R(x)
avec deg(R) < deg(Q) ) et

On est alors ramené au cas où le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.

Comment faire la division euclidienne ?

Division euclidienne

Faisons la division euclidienne sur des exemples. N'hésitez pas à recommencer . Et allez voir ensuite comment poser la division euclidienne .

Prenons P(x)=, Q(x)= alors :

=()() +()

c'est-à-dire P = EQ +R avec E(x) = et R(x) = . Bien remarquer que le degré de R qui est est strictement inférieur à NaN. Effectuons la division : on écrit avec P=P0 :

P0(x)= Q +

Le degré de P1= est strictement plus petit que celui de P0. Il est aussi strictement inférieur à celui de Q, on a donc fini ; le reste est P1= ; le quotient est obtenu en ajoutant les monômes en rouge.

En général, on pose la division euclidienne de la manière suivante

Calcul de la partie polaire

On suppose maintenant que l'on cherche à décomposer la fraction rationnelle P(x)/Q(x) en éléments simples quand deg(P) < deg(Q). Dans cette situation, la partie entière est nulle.

On étudie en détail les cas particuliers suivants et on précise dans ces cas particuliers le théorème

Le degré de Q est 3 et celui de P est inférieur ou égal à 2

Soit une fraction rationnelle P(x)/Q(x) telle que le degré de Q est égal à 3 et le degré de P est au plus égal à 2. Suivant les racines du dénominateur, sa décomposition prendra l'une des formes suivantes où a, b, c, A, B, C sont des réels :

Exemple

Considérons la fraction rationnelle

On cherche A, B et C tels que

Donc

Exemple

Considérons la fraction rationnelle

On cherche A et B tels que

Donc

Exemple

Considérons la fraction rationnelle

On cherche A, B et C tels que

Ainsi,

Exemple

Considérons la fraction rationnelle

On cherche A, B et C tels que

On fait le changement de variables x =. On a donc

Donc

Algorithme général

Pour des exemples de décomposition de la fraction P(x)/Q(x), voir Exemple La décomposition en éléments simples de P(x)/Q(x) est obtenue en ajoutant les bouts obtenus. Exemple


Par Version interactive
Dernière modif. 20120515
Description: document sur la décomposition dans des cas simples.

Keywords: decomposition, pole, multiplicite, division euclidienne,element simple, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity