OEF Taylor
--- 介绍 ---
本模块目前包含 18 个关于单变量实函数 Taylor 展开的练习.
有限展开式的阶
设
和
是两个函数, 在 0 附近有以下有限展开式 :
=
+ ,
=
+ 问
在 0 附近的有限展开式可以达到几阶 ? 如果得不到展开式, 回答 no .
有限展开式的阶+
设
和
是两个函数, 在 0 附近有以下有限展开式 :
= + ,
= + 问
在 0 附近的有限展开式可以达到几阶 ?
有限展开式的阶x
设
和
是两个函数, 在 0 附近有以下有限展开式 :
= + ,
= + 问
在 0 附近的有限展开式可以达到几阶 ? 如果得不到展开式, 回答 no .
有限展开式的阶-复合0
设
和
是两个函数, 分别在 和 附近有以下有限展开式 :
能否计算
在 的有限展开式 ?
有限展开式的阶-复合*
设
和
是两个函数, 分别在 和 附近有以下有限展开式 :
问
在 附近的有限展开式可以达到几阶 ? 如果已知信息不足以计算在 的有限展开式, 则回答 -1 .
导数 I
函数 f 在 附近 3 阶可微且有 Taylor 展开式 f(x) = 问 f 在 的 阶导数是什么?
导数 II
设 是
上的函数, 可以写成
= . 这确定了 在某个点
的导数值. 问
是什么, (
) 是多少?
有限展开式 1
设 f 是在 0 的邻域有定义的实函数, 在这个邻域里有
.
问 f 在 0 的邻域里的展开式的阶是多少 ?
有限展开式 II
设
是在 0 的邻域有定义的实函数, 在这个邻域里有
.
以下断言正确吗 ?
误差估计 I
已知函数
在区间 [,] 是 4 阶可微且在 0 的邻域有有限展开式
= 假设在 [,] 上有
. 如果在 [,] 内把 f(x) 换成 , 其最大误差是多少 ?
误差估计 II
已知函数
在区间 [,] 是 阶可微且在 的邻域有有限展开式
= 假设在这个区间上有
, 如果在 [,] 上把
换成
其最大误差是多少 ?
误差估计 III
已知函数
在
4 阶可微且在 0 的邻域有有限展开式
= 假设
. 如果在区间
内把
换成 , 且能保证误差不超过 , 问
的最大值是多少 ?
表 2
设 是在
上 3 阶可微的实函数, 有如下的导数表. 问在 附近 的 2 阶有限展开式的主部, 即有限展开式
(x) = P(x) + o(()2) 里的多项式 P(x) 是什么?
表 3
设 是在
上 3 阶可微的实函数, 有如下的导数表. 问在 附近 的 3 阶有限展开式的主部, 即有限展开式
(x) = P(x) + o(()3) 里的多项式 P(x) 是什么?
切线
函数 在 附近有有限展开式 (x) = 考虑 的曲线 相对于它在点 (,()) 的切线 的位置. 对于非常接近 的
, 以下 4 种情况中的哪一种是对的?
- 在 下面.
- 在 上面.
- 在 的左下方 (当
<), 以及 的右上方 (当
>).
- 在 的左上方以及 的右下方.
Taylor 公式 2
设
是
上
实函数.
写出在点
的 2 阶 Taylor- 公式 (如有需要,
是满足
的适当的点,
是当
趋于 时趋于 0 的函数):
点击阴影区域下方的符号或项就能将其写入回答栏, 右方的叉用于全部清除, 向左的箭头用于删除最近写入的符号. 在回答时应该按照标准的次序排列项, 不要别出心裁乱排 !
事实上在点
的 2 阶 Taylor- 公式是
其中
是当
趋于 时趋于 0 的函数
其中
是
与
之间的实数
. 设
是仿射函数, 定义为
. 假设
对所有满足
的
.
根据这些信息, 当
时上述 Taylor 公式能否给出
的上界 ? 如果能, 给出最好的上界. 否则, 回答 no
值
设 是
上的函数, 假设可以写成
= . 这确定了 在某个点
的值. 问
是什么,
是什么?
值 II
设 是实函数, 假设可以写成 (x) = . 这确定了 在某个点
的值. 问
是什么,
是什么?
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Description: 关于单变量实函数 Taylor 展开的一组练习. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, analysis, calculus, Taylor, function, derivative, integral, differential equation