OEF Taylor
--- 介绍 ---

本模块目前包含 18 个关于单变量实函数 Taylor 展开的练习.

有限展开式的阶

设 和 是两个函数, 在 0 附近有以下有限展开式 :

= + , = +

问 在 0 附近的有限展开式可以达到几阶 ? 如果得不到展开式, 回答 no .


有限展开式的阶+

设 和 是两个函数, 在 0 附近有以下有限展开式 :

= + , = +

问 在 0 附近的有限展开式可以达到几阶 ?


有限展开式的阶x

设 和 是两个函数, 在 0 附近有以下有限展开式 :

= + , = +

问 在 0 附近的有限展开式可以达到几阶 ? 如果得不到展开式, 回答 no .


有限展开式的阶-复合0

设 和 是两个函数, 分别在 和 附近有以下有限展开式 :

能否计算 在 的有限展开式 ?

有限展开式的阶-复合*

设 和 是两个函数, 分别在 和 附近有以下有限展开式 :

问 在 附近的有限展开式可以达到几阶 ?

如果已知信息不足以计算在 的有限展开式, 则回答 -1 .


导数 I

函数 f 在 附近 3 阶可微且有 Taylor 展开式

f(x) =

问 f 在 的 阶导数是什么?


导数 II

设 是 RR 上的函数, 可以写成

= .

这确定了 在某个点 的导数值. 问 是什么, ( ) 是多少?


有限展开式 1

f  是在 0 的邻域有定义的实函数, 在这个邻域里有

.

f  在 0 的邻域里的展开式的阶是多少 ?


有限展开式 II

设 是在 0 的邻域有定义的实函数, 在这个邻域里有

.

以下断言正确吗 ?


误差估计 I

已知函数 在区间 [,] 是 4 阶可微且在 0 的邻域有有限展开式

=

假设在 [,] 上有 . 如果在 [,] 内把 f(x) 换成 , 其最大误差是多少 ?


误差估计 II

已知函数 在区间 [,] 是 阶可微且在 的邻域有有限展开式

=

假设在这个区间上有 , 如果在 [,] 上把 换成

其最大误差是多少 ?


误差估计 III

已知函数 在 RR 4 阶可微且在 0 的邻域有有限展开式

=

假设 . 如果在区间 内把 换成 , 且能保证误差不超过 , 问 的最大值是多少 ?


表 2

设 是在 RR 上 3 阶可微的实函数, 有如下的导数表.

()'()''() (3)()
-
0

问在 附近 的 2 阶有限展开式的主部, 即有限展开式

(x) = P(x) + o(()2)
里的多项式 P(x) 是什么?

表 3

设 是在 RR 上 3 阶可微的实函数, 有如下的导数表.

()'()''() (3)()
-
0

问在 附近 的 3 阶有限展开式的主部, 即有限展开式

(x) = P(x) + o(()3)
里的多项式 P(x) 是什么?

切线

函数 在 附近有有限展开式

(x) =

考虑 的曲线 相对于它在点 (,()) 的切线 的位置. 对于非常接近 的 , 以下 4 种情况中的哪一种是对的?

  1. 在 下面.
  2. 在 上面.
  3. 在 的左下方 (当 <), 以及 的右上方 (当 >).
  4. 在 的左上方以及 的右下方.

Taylor 公式 2

设 是 上 实函数. 写出在点 的 2 阶 Taylor- 公式 (如有需要, 是满足 的适当的点, 是当 趋于 时趋于 0 的函数):
点击阴影区域下方的符号或项就能将其写入回答栏, 右方的叉用于全部清除, 向左的箭头用于删除最近写入的符号. 在回答时应该按照标准的次序排列项, 不要别出心裁乱排 ! 事实上在点 的 2 阶 Taylor- 公式是
其中 是当 趋于 时趋于 0 的函数 其中 是 与 之间的实数 .

设 是仿射函数, 定义为

.
假设
对所有满足 的 .

根据这些信息, 当 时上述 Taylor 公式能否给出 的上界 ? 如果能, 给出最好的上界. 否则, 回答 no


设 是 RR 上的函数, 假设可以写成

= .

这确定了 在某个点 的值. 问  是什么,  是什么?


值 II

设 是实函数, 假设可以写成

(x) = .

这确定了 在某个点 的值. 问  是什么,  是什么?

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Description: 关于单变量实函数 Taylor 展开的一组练习. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games

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