向量空间定义练习
--- 介绍 ---
本模块目前包含 13 个有关向量空间定义的练习.
会给你各种不同的结构, 让你判别哪些是真正的线性空间.
也可参看其它有关练习
向量空间的一般知识或
线性子空间定义.
圆周
设 S 是坐标平面上所有圆周的集合, 其加法与纯量乘法定义如下: - 设 C1 (相应地, C2) 是中心为 (x1,y1) (相应地, (x2,y2) ) 半径为 的圆周, C1 + C2 是中心在 (x1+x2,y1+y2) 半径为 的圆周.
- 如果 C 是中心为 (x,y) 半径为 的圆周, 且若 a 是实数, 则 aC 是中心为 (ax,ay) 半径为 的圆周.
问 S 关于这样定义的加法及纯量乘法是否构成实数域上的线性空间?
映射的空间
设 S 是如下映射的集合 f: ---> , (即从的集合到的集合) 其加法与纯量乘法的定义如下:
- 若 f1 与 f2 是 S 内的两个映射, f1+f2 是一个映射 f: : -> 使得对所有属于 的 x 有 f(x)=f1(x)+f2(x).
- 若 f 是 S 内的映射, a 是实数, af 是从 到 的映射使得对所有属于 的 x 有 (af)(x)=af(x).
问 S 关于上述结构构成 R 上线性空间吗?
绝对值
设 S 是实数对 (x,y) 的集合. 我们用如下方式定义 S 的加法和纯量乘法: - 对属于 S 的任意 (x,y) 与 (x,y), 定义 (x,y)+(x,y) = (x+x,y+y).
- 对属于 S 的任意 (x,y)以及任意实数 a, 定义 a(x,y) = (|a|x,|a|y).
问在上述定义的结构下, S 是 R 上线性空间吗?
仿射直线
设 L 是由方程 c1x+c2y=c3 定义的 坐标平面上的直线, 且设 =(x,y)是 L 上一个定点. 设 S 是 L 上点的集合. 在 S 上我们定义 加法和纯量乘法如下:
- 若 =(x,y) 与 =(x,y) 是 S 的两个元素, 定义 + = .
- 若 =(x,y) 是 S 的元素, 是实数, 定义 = .
问在上述定义的结构下, S 是 R 上线性空间吗?
交错加法
设 S 是实数对 (x,y) 的集合. 在 S 上我们定义 加法和纯量乘法如下: - 对 S 的任意 (x,y) 与 (x,y), (x,y)+(x,y) = (x+y,y+x).
- 对 S 的任意 (x,y) 以及任意实数 a, a(x,y) = (ax,ay).
问在上述定义的结构下, S 是 R 上线性空间吗?
域
的集合关于通常的加法与乘法是否构成域上的线性空间?
矩阵
设
是实
矩阵的集合. 在
内, 我们 如下地定义纯量乘法: 若
是
里的矩阵,
是实数, 则 纯量
与
的乘法定义为矩阵
, 其中
. 问
关于通常加法以及上面定义的纯量乘法 是否构成
上线性空间?
矩阵 II
矩阵的集合关于通常的加法与纯量乘法是否构成域上的线性空间?
乘除
设 S 是实数对 (x,y) 的集合. 定义 S 的加法与纯量乘法如下: - 对 S 的任意 (x,y) 与 (x,y), 定义 (x,y)+(x,y) = (x+x,y+y).
- 对 S 的任意 (x,y) 以及实数 a, 定义: 若 a 非零, 则 a(x,y) = (x/a , y/a), 以及 0(x,y)=(0,0).
问
关于上述结构 是否构成 R 上线性空间?
非零数
设 S 是实数的集合. 定义 S 内的加法与纯量乘法如下: - 如果 x 与 y 是 S 的两个元素, x 与 y 在 S 内的和定义为 xy.
- 若 x 是 S 的元素, a 是实数, 则 x 关于纯量 a 的乘积定义为 xa.
问
关于上述结构 是否构成 R 上线性空间?
变形仿射
设 S 是实数对 (x,y) 的集合. 定义 S 内的加法与纯量乘法如下: - 若 (x,y) 和 (x,y) 是 S 的两个元素, 它们在 S 内的和定义为 (x+x,y+y).
- 若 (x,y) 是 S 的元素, a 是实数, 则 (x,y) 关于纯量 a 在 S 内的乘积定义为 (ax(),ay()).
问
关于上述结构 是否构成 R 上线性空间?
变形平方
设 S 是实数对 (x,y) 的集合. 定义 S 内的加法与纯量乘法如下: - 对 S 的任意 (x,y) 和 (x,y), (x,y)+(x,y) = (x+x,y+y).
- 对 S 的任意 (x,y) 以及任意实数 a, a(x,y) = (ax,ay()2).
问
关于上述结构 是否构成 R 上线性空间?
单位圆
设 S 是坐标平面内圆周 x2+y2=1 上的点的集合. 对 S 内任意点 (x,y), 存在实数 t 使得 x=cos(t), y=sin(t). 定义 S 内的加法与纯量乘法如下:
- 如果 (cos(t1),sin(t1)) 和 (cos(t2),sin(t2)) 是 S 内两个点, 定义它们的和为 (cos(t1+t2),sin(t1+t2)).
- 如果 p=(cos(t), sin(t)) 是 S 内的点, a 是实数, 则 p 关于纯量 a 的乘积定义为 (cos(at), sin(at)).
问
关于上述结构 是否构成 R 上线性空间?
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Description: 有关向量空间定义的一组练习. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
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